Ахиллес и черепаха

Условие задачи:

В Апории Зенона говорится о том, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепахи, так как за то время, пока бегун достигает того места, где находилась черепаха в момент "старта", черепаха успеет продвинуться на какое-то расстояние вперед. Пробежав этот путь, Ахиллес снова потратит какое-то время, за которое черепаха пройдет новый участок пути и т.д. (Философский словарь, под ред. Фролова И. Т.)

Решение:

В результате рассуждений Зенона получилась бесконечная убывающая после­довательность величин отрезков пути. На основании бесконечного количества слагаемых в этой последовательности Зенон произвольно допустил, что время, затраченное Ахиллесом на прохождение всей совокупности отрезков пути, равно бесконечности. То есть Ахиллес не догонит черепаху.

Из математики мы знаем, что сумма членов бесконечно убывающей после­довательности, ряд, бывает расходящимся и сходящимся. Сумма всех членов расходящегося ряда равна бесконечности. Сумма всех членов сходящегося ряда равна конечному числу. Чтобы опровергнуть Зенона, необходимо найти эту последовательность и определить является ли её ряд сходящимся или расхо­дящимся.

Для начала введем обозначения:

Составим формулу, по которой определим время, состоящее из суммы времён, затраченных Ахиллесом на прохождение каждого участка пути, согласно размышлению Зенона.

Время, на преодоление Ахиллесом первого отрезка пути, соответствующему исходному расстоянию между Ахиллесом и черепахой, будет равно:

Время на преодоление Ахиллесом второго отрезка пути равно:

т.е. нужно предыдущий член умножить на скорость черепахи , чтобы найти расстояние, которое она прошла за время . Затем всё это разделить на скорость Ахиллеса , чтобы найти время, затраченное Ахиллесом, на прохождение этого отрезка пути. В результате предыдущий член последовательности умножается на дробь .

Время на преодоления Ахиллесом третьего отрезка пути определяется по тому же алгоритму:

т.е. нужно снова предыдущий член умножить на скорость черепахи , чтобы найти расстояние, которое она прошла за время . Затем всё это разделить на скорость Ахиллеса , чтобы найти время, затраченное Ахиллесом, на прохождение этого отрезка пути. В результате предыдущий член последова­тельности тоже умножается на дробь .

Таким образом, n-ный член последовательности будет равен:

Анализируя формулу (4), приходим к выводу, что при любом , не равно нулю,  

Данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, где:

Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии всегда конечна и равна:

Подставим в данную формулу значения и , и заменим символ на , в результате получим:

Можно произвести проверку данного результата, вычислив время, за которое Ахиллес догонит черепаху, другим способом.

Обозначим через искомое время, тогда на основании исходных данных можно составить уравнение:

Таким образом, вычислив время, за которое Ахиллес догонит черепаху, способом, предложенным Зеноном, мы получили конечное время.

Отсюда следует, что Зенон сделал ложное предположение о том, что время, за которое Ахиллес пройдет всю бесконечную совокупность отрезков пути, будет бесконечным.